.

Minggu, 29 Desember 2013

Energi , potensial , Dipole dan momen Dipole

Energi Listrik

Energi listrik adalah produk skalar dari vektor gaya Coulomb dengan vektor perpindahan, atau dapat diartikan juga sebagai kerja yang dilakukan oleh vektor gaya Coulomb untuk menempuh vektor elemen perpindahan. Jika arah vektor gaya Coulomb ini berlawanan dengan arah vektor perpindahan maka kerja bernilai negatif, yang artinya kerja diberikan dari luar ke sistem, atau dengan kata lain kerja diperlukan oleh sistem.

(3.1)

(3.2)

Integral Garis

Integral garis adalah kerja yang diperlukan untuk memindahkan muatan titik q dari suatu titik awal ke suatu titik akhir. Kerja ini bersifat konservatif (kekal) apabila tidak tergantung pada lintasan yang ditempuh, melainkan hanya pada posisi titik awal dan posisi titik akhir. Kerja ini adalah efek medan dari vektor intensitas medan listrik yang terdistribusi secara merata atau homogen di medium yang tersedia :

(3.3)

Jika muatan titik q dipindahkan dari titik awal A (x₁, y₁, z₁) ke titik akhir B (x₂, y₂, z₂) di dalam suatu medium dengan vektor intensitas medan listrik yang homogen E = E_xa_x + E_ya_y + E_za_z maka kerja yang diperlukan adalah

(3.4)

Kerapatan Energi

Untuk muatan yang kontinu, energi diperoleh lewat metode integrasi :

(3.5)

Dimana :

r_v = kerapatan muatan ruang (C/m³)

V = beda potensial (V)

Dari teorema divergensi diperoleh :

(3.6)

Dari persamaan (3.6), kita memperoleh kerapatan energi atau energi per satuan volume :

(3.7)

Persamaan (3.6) dan (3.7) juga dapat diturunkan dari hukum Gauss. Untuk muatan kontinu,

Potensial dan Gradien Potensial

Potensial listrik V di sembarang titik P (x_p, y_p, z_p) yang dihasilkan oleh muatan titik Q di titik A (x_A, y_A, z_A), di mana jarak titik A ke P adalah r, didefinisikan sebagai kerja yang diperlukan untuk membawa satu satuan muatan (1 C) dari jarak r tak terhingga ke jarak r = r.

Potensial listrik V di sembarang titik P (x_p, y_p, z_p) yang dihasilkan oleh beberapa muatan titik, misalnya Q₁ di titik (x₁, y₁, z₁), Q₂ di titik (x₂, y₂, z₂) dan Q₃ di titik (x₃, y₃, z₃), adalah jumlah dari masing-masing potensial yang ditimbulkan oleh Q₁, Q₂, dan Q₃ di titik P tersebut.

Untuk muatan yang kontinu, potensial listrik statis diperoleh lewat integrasi :

(3.11)

di mana dq = q_L dl, bila q_L muatan garis; dl = elemen panjang; dq = q_s dS, bila q_s muatan bidang; dS = elemen luas; dq = q_v dV, bila q_v = muatan ruang; dV = elemen volume.

Gradien Potensial

Vektor intensitas medan listrik E didefinisikan sebagai negatif dari gradien potensial :

(3.12)

Bila dinyatakan di dalam tiga dimensi :

Dari persamaan (3.12) kita juga bisa memperoleh potensial V :

(3.13)

dimana f = sudut antara vektor E dan garis normal N dari bidang equipotensial.

Dipole dan Momen Dipole

Dua muatan titik yang sama besar, namun dengan tanda berlawanan, misalnya q dan -q, terpisah oleh jarak d, yang relatif kecil terhadap jarak dipole ke suatu titik, dinamakan dipole listrik (terkadang disebut dengan dipole saja). Momen dipole listrik (P) didefinisikan sebagai hasil-kali antara muatan q dan jarak kedua muatan d. Dalam sistem SI skala besar, satuan untuk momen dipole listrik adalah Coulomb . meter (C . m).

P = qd (3.14)

Vektor momen dipole listrik P didefinisikan sebagai hasil-kali antara muatan q dengan vektor jarak d, yaitu vektor jarak dari muatan -q ke muatan +q :

P = qd (3.15)

Potensial V yang ditimbulkan oleh dipole listrik dapat diturunkan berdasarkan Gambar (3.1) :

dimana

r = jarak dari dipole ke titik P

r₁ = r - d/2 cos q

r₂ = r - d/2 cos q

q = sudut antara vektor jarak d dan vektor r

(3.16)

Vektor intensitas medan listrik E dan jarak r dari dipole listrik dengan momen dipole P dapat diperoleh dari Persamaan (3.12), untuk sistem koordinat bola tiga dimensi, sedangkan untuk dua dimensi diperoleh dari

(3.17)

dimana komponen-komponennya adalah

(3.18)

(3.19)

Kerapatan fluks Listrik , Hukum Gauss , dan Divergensi

Kerapatan fluks Listrik , Hukum Gauss , dan Divergensi

Rapat Fluks Listrik dan Hukum Gauss

Vektor rapat fluks listrik D didefinisikan sebagai :

D = eE (2.13)

Dimana :

e = e₀e_r adalah permitivitas dielektrik medium dengan satuan F/m

e₀ = permitivitas dielektrik ruang vakum = 8,854 x 10^-12 F/m

E = vektor intensitas medan listrik dengan satuan V/m

Di dalam sistem SI skala besar (MKS), vektor rapat fluks listrik memiliki satuan Coulomb per meter persegi. Hukum Gauss mengatakan: fluks listrik yang dipancarkan dari permukaan tertutup seluas S adalah sama dengan muatan listrik yang tercakup oleh permukaan tertutup tersebut, atau

(2.14)

Di dalam medan elektromagnetik, hukum Gauss memiliki implikasi untuk menentukan vektor intensitas medan listrik yang ditimbulkan oleh suatu muatan elektrostatik.

Contoh Penerapan Hukum Gauss

Penerapan hukum Gauss untuk mendapatkan vektor intensitas medan listrik yang dihasilkan oleh muatan listrik statik pada jarak tertentu dari muatan tersebut diawali dengan mengganti vektor rapat fluks listrik D dengan eE, sehingga diperoleh

f_E = eE . dS = q (2.15)

Medan E oleh Muatan Titik

Vektor intensitas medan listrik pada jarak r dari muatan titik q dengan permitivitas dielektrik medium e adalah E = Ea_r. Sedangkan vektor elemen luas dS = dSa_r = (rd q) (r sin q) df_r, yaitu elemen luas kulit permukaan bola dengan jari-jari r.

Jadi hukum Gauss menjadi

karena a_r . a_r = 1, sedangkan e, E, dan r adalah konstanta, maka diperoleh

Medan E oleh Muatan Garis

Medan E atau vektor intensitas medan listrik yang dihasilkan oleh muatan garis q₁ Coulomb per meter yang terdistribusi merata di sepanjang kawat lurus, pada jarak r dari kawat dapat dijabarkan dengan hukum Gauss dengan mengambil elemen luas permukaan dS = rdfdza_r, yaitu elemen luas permukaan kulit silinder dengan jari-jari r.

Hukum Gauss menjadi

Karena a_r. a_r = 1, dan mengambil batas integrasi untuk f dari 0 ke 2p, sedangkan untuk z dari 0 ke L, maka persamaan hukum Gauss dapat ditulis

(2.16)

Persamaan (2.16) ini sesuai dengan persamaan (2.8) yang mempergunakan simbol untuk muatan garis l. Di dalam penggunaan persamaan (2.16) ini, vektor satuan a_r diganti dengan vektor jari-jari silinder dibagi harga skalarnya menjadi

(2.17)

TEOREMA DIVERGENSI

Integral Luas dari komponen normal suatu vektor A meliputi suatu luas tertutup, sama dengan integral dari divergensi A terhadap volume yang ditutupi oleh luas tersebut

Hukum Coulomb dan Intensitas Medan listrik

Hukum Coulomb dan Gaya Coulomb

Gaya tarik menarik antara dua muatan listrik q_1' dan q_2' yang berlawanan jenis atau gaya tolak menolak antara dua muatan listrik, q₁ dan q_2' yang sejenis adalah sebanding dengan hasil perkalian kedua muatan dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak antara kedua muatan tersebut. Dengan menggunakan simbol-simbol besaran, hukum Coulomb ditulis

(2,1)

Di dalam sistem CGS (sistem SI skala-kecil) harga konstanta k adalah 1, sedangkan di dalam sistem MKS (sistem SI skala-besar) harga k adalah

dimana :

e = e₀e_r= permitivitas dieletrik medium

e₀ = permitivitas dielektrik ruang vakum = 8,854 x 10^-12 F/m

= 8,854 pF/m

e_r = permitivitas relatif = koefisien dielektrik medium (non-dimensi)

Jika dinyatakan dalam bentuk vektor, persamaan (2.1) dapat ditulis (dalam sistem MKS)

(2.2)

Bila muatan titik q₁ berada di titik P₁ (x₁, y₁, z₁) dan muatan titik q₂ di P₂ (x₂, y₂, z₂), maka vektor gaya Coulomb yang bekerja pada muatan titik q₁ adalah

(2.3)

Gaya Coulomb yang bekerja pada muatan titik q₂ adalah :

(2.4)

Dari persamaan (2.3) dan (2.4) dapat dilihat dari gaya Coulomb yang bekerja pada muatan q₁ dan muatan q₂ berlawanan. Sifat berlawanan arah inilah yang menyebabkan q₁ dan q₂ akan saling tarik menarik apabila keduanya memiliki muatan yang tidak sejenis akan tolak menolak bila q₁ dan q₂ sejenis.

Vektor intensitas medan listrik yang ditimbulkan oleh suatu muatan listrik statis pada suatu titik yang berjarak r dari muatan tersebut didefinisikan sebagai vektor gaya Coulomb per satuan muatan listrik di titik tersebut. Jika kita misalkan bahwa muatan titik q₁ terletak di titik P₁ (x₁, y₁, z₁) dan muatan titik q₂ terletak di titik P₂ (x₂, y₂, z₂), maka vektor intensitas medan listrik yang ditimbulkan oleh muatan titik q₁ di titik P₂ adalah sama dengan gaya Coulomb pada titik q₂ dibagi dengan muatan titik q₂ :

(2.5)

Vektor intensitas medan listrik yang ditimbulkan oleh muatan titik, q₂ di titik P₁ adalah sama dengan gaya Coulomb pada titik q₁ dibagi dengan muatan titik q₁, yaitu

(2.6)

Vektor intensitas medan listrik yang ditimbulkan oleh muatan kontinu diperoleh melalui proses integrasi. Sebagai contohnya adalah muatan garis yang terdistribusi merata di sepanjang kawat lurus atau kawat berbentuk lingkaran atau muatan bidang yang terdistribusi merata pada permukaan bidang datar tertentu. Umumnya vektor intensitas medan listrik oleh muatan kontinu ditulis sebagai

(2.7)

Contoh vektor intensitas medan listrik E yang ditimbulkan oleh muatan garis l C/m yang terdistribusi merata di sepanjang kawat lurus yang berimpit dengan sumbu-z diperlihatkan pada Gambar 2.1.

Gambar 2.1. Kawat lurus bermuatan garis terdistribusi merata dan intensitas medan yang timbul

(2.8)

Intensitas medan listrik pada sumbu lingkaran, yaitu sumbu-z, yang ditimbulkan oleh kawat lingkaran berjari-jari R dan bermuatan garis l C/m yang terdistribusi merata sepanjang kawat lingkaran adalah

Vektor intensitas medan listrik di sepanjang sumbu lingkaran, yaitu sumbu-z, dengan vektor satuan di sepanjang sumbu-z positif adalah a_z, maka

E_z = |E_r| cos q a_z, dimana q adalah sudut antara sumbu-z dan r

Dengan mensubsitusi cos q =

kita peroleh (2.9)

Di pusat lingkaran dimana z = 0, maka E_z = 0

Vektor intensitas medan listrik oleh muatan bidang q_s C/m² yang terdistribusi merata pada suatu permukaan datar dapat diturunkan sebagai berikut. Perhatikan permukaan datar XOY dengan muatan bidang q_s yang terdistribusi merata atau homogen seperti dijelaskan oleh Gambar 2.2.

Gambar 2.2. Bidang datar XOY dengan muatan bidang q_s C/m²

Muatan garis pada bidang XOY yang sejajar sumbu-y berjarak x dari sumbu-y adalah q_sdx = l

Sesuai dengan persamaan (2.8) maka

Di atas bidang XOY, vektor E_z bernilai positif,

(2.10)

Ke arah bawah bidang XOY, vektor E_z bernilai negatif,

(2.11)

Jadi, intensitas medan yang dihasilkan oleh muatan bidang bukan fungsi jarak ke bidang.

Garis Medan

Garis medan dinamakan juga garis gaya atau garis fluks atau garis arus atau garis arah yang menggambarkan arah vektor intensitas medan listrik. Garis-garis medan dari suatu muatan titik adalah garis-garis lurus, apabila muatan titik itu positif maka arah garis medannya menjauhi muatan titik tersebut dan apabila muatan titik itu negatif maka arah garis medannya menuju muatan itu. Garis-garis medan dipole listrik (dwi kutub listrik) adalah kurva-kurva simetris yang arahnya dari muatan positif menuju ke muatan negatif.

Untuk keadaan dua dimensi (x, y), persamaan garis medannya adalah